INTEGRAL DE LA PRIMERA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.
Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente ; por ejemplo el verseno (1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1)
Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente ; por ejemplo el verseno (1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1)
Función | Abreviatura | Equivalencias (en radianes) |
---|---|---|
Seno | sin (sen) | |
Coseno | cos | |
Tangente | tan | |
Cotangente | ctg (cot) | |
Secante | sec | |
Cosecante | csc (cosec) |
Esta es la tabla :
Caso 1
Integrales de la forma
Integrales trigonométricas:
Recuerda que en la definición de una antiderivada que, si
|
entonces
Es decir, cada vez cuando tenemos una fórmula de diferenciación, obtenemos una fórmula de integración automaticamente. Aquí esta una lísta de algunos de ellos.
| |||||
| |||||
| |||||
| |||||
| |||||
|
sen x
y
cos x.
Pregunta
¿Y qué de los otros cuatro?
Respuesta
Vamos a obtener algunos de ellos a continuación, y dejaremos los otros para el conjunto de ejercicios. (Algunos de ellos ya aparecieron como derivadas en el conjunto de ejercicios 3...).
Ejemplo 1
Calcula las siguientes.
- (a)
(c)
Solución
(a) Consultando la tabla de arriba,
=
| (propiedades de integrales) | ||||
= 3
| (propiedades de integrales) | ||||
= − 3cos x − 4tan x + C
| (de la tabla) |
u = 2x − 6
dx =
|
Ahora tenemos
=
| (usando la sustitución) | ||||||
=
| (propiedades de integrales) | ||||||
=
| (de la tabla) | ||||||
=
| (usando la sustitución) |
cos x
de la siguiente manera:
u = cos x
dx = −
|
Ahora tenemos
=
| (usando la sustitución) | |||||||||
= −
| ||||||||||
= −
| ||||||||||
= −
| (usando la sustitución) |
=
| ||||||||||||
=
| (usando sustitución) | |||||||||||
= −
| ||||||||||||
= − ln
| ||||||||||||
= − ln
| (usando la sustitución) |
INTEGRAL DE LA SEGUNDA POTENCIA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Son los casos de integrales de la forma
1)
a) o impar positivo
Si es
Si es
Si es
El objetivo es transformar esa potencia par en términos de la otra función trigonométrica
usando la identidad el término de potencia 1 que queda servirá como
diferencial en una integración por sustitución
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
Con lo cual se observa que si ambas funciones tienen potencia impar es más corto trabajar con la que
esté elevada a la potencia menor.
esté elevada a la potencia menor.
b) y pares positivas
Para ambas se usan las identidades
Con este procedimiento se pasa del cuadrado al argumento doble
Ejemplo 3:
Ejemplo 4:
2)
a) impar positiva.
Se toma la máxima potencia par,para transformarla en términos de utilizando
Ejemplo 5:
Ejemplo 6:
b) par
. Se aisla el resto que tiene potencia par se pone en función de con para usar sec en una integral por sustitución
Ejemplo 7:
Ejemplo 8:
= | |
= | |
= | |
c) par
Se pasan las potencias pares de tangente a potencias de secante; si llegan a quedar potencias impares de secante esto se reduce al caso siguiente.
Ejemplo 9:
d) par
Se hace por partes
Ejemplo 10:
Las integrales que contengan sec van a involucrar la de sec así como la de sec y así sucesivamente.
FORMULA: