INTEGRAL DE LA PRIMERA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS E INTEGRAL DE LA SEGUNDA POTENCIA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICO

                   

               INTEGRAL DE LA PRIMERA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 

Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.
Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente ; por ejemplo el verseno (1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1)

Función	Abreviatura	Equivalencias (en radianes)
Seno	sin (sen)
Coseno	cos
Tangente	tan
Cotangente	ctg (cot)
Secante	sec
Cosecante	csc (cosec)

Esta es la tabla :

Caso 1

Integrales de la forma

          

Integrales trigonométricas:

 Recuerda que en la definición de una antiderivada que, si

d dx

 f(x) = g(x), 

entonces

g(x)dx = f(x) + C.

Es decir, cada vez cuando tenemos una fórmula de diferenciación, obtenemos una fórmula de integración automaticamente. Aquí esta una lísta de algunos de ellos.

Regla derivada	Regla antiderivada
d dx  sen x = cos x	cos x dx = sen x + C
d dx  cos x =  − sen x	sen x dx =  − cos x + C
d dx  tan x = sec2x	sec2x dx = tan x + C
d dx  cotan x =  − cosec2x	cosec2x dx =  − cotan x + C
d dx  sec x = sec xtan x	(sec xtan x)dx = sec x + C
d dx  cosec x =  − cosec xcotan x	(cosec xcotan x)dx =  − cosec x + C

Ten en cuenta que, por casualidad, hemos encontrado fórmulas para las antiderivadas de 

sen x

 y 

cos x.

Pregunta
¿Y qué de los otros cuatro?
Respuesta
Vamos a obtener algunos de ellos a continuación, y dejaremos los otros para el conjunto de ejercicios. (Algunos de ellos ya aparecieron como derivadas en el conjunto de ejercicios 3...).

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 Ejemplo 1

Calcula las siguientes.

(a) 
(3sen x − 4sec2x)dx
        (b) 
cos(2x − 6)dx

(c) 
sen x cos2x dx
                   (d) 
tan x dx

Solución

(a) Consultando la tabla de arriba,

(3sen x − 4sec2x)dx	=  3sen x dx −  4sec2x dx	(propiedades de integrales)
	= 3 sen x dx − 4 sec2x dx	(propiedades de integrales)
	=  − 3cos x − 4tan x + C	(de la tabla)

(b) El cálculo de 

cos(2x − 6)dx

 require una sustitución:

u = 2x − 6 du dx  = 2 dx =  1 2  du

Ahora tenemos

cos(2x − 6)dx	=  cos u 1 2  du	(usando la sustitución)
	=  1 2   cos u du	(propiedades de integrales)
	=  1 2  sen u + C	(de la tabla)
	=  1 2  sen(2x − 6) + C.	(usando la sustitución)

(c) Éste también se puede hacer usando una sustitución. El truco es sustituir para el término 

cos x

 de la siguiente manera:

u = cos x du dx  =  − sen x dx =  −  1 sen x  du

Ahora tenemos

sen xcos2x dx	=  (sen x)u2 ( − 1 sen x ) du	(usando la sustitución)
	=  −  u2du
	=  −  u3 3  + C
	=  −  cos3x 3  + C.	(usando la sustitución)

(d) Escribe 

tan x dx

 como 

(sen x/cos x)dx, 

 y usa la sustitución como en la parte (c):

tan x dx	=  sen x cos x  dx
	=  sen x u   ( − 1 sen x   ) du	(usando sustitución)
	=  −  1 u  du
	=  − ln  u  + C
	=  − ln  cos x  + C.	(usando la sustitución)

INTEGRAL DE LA SEGUNDA POTENCIA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Son los casos de integrales de la forma   

1) 

a)  o  impar positivo

.El que tenga potencia impar se descompone en la máxima potencia par

Si es  
Si es 

El objetivo es transformar esa potencia par en términos de la otra función trigonométrica

usando la identidad el término de potencia 1 que queda servirá como

diferencial en una integración por sustitución

Ejemplo 1: 

Ejemplo 2: 

Con lo cual se observa que si ambas funciones tienen potencia impar es más corto trabajar con la que
esté elevada a la potencia menor.

b)  y  pares positivas

Para ambas se usan las identidades 

Con este procedimiento se pasa del cuadrado al argumento doble

Ejemplo 3: 

Ejemplo 4: 

2) 

a)  impar positiva.

Se toma la máxima potencia par,para transformarla en términos de  utilizando

Ejemplo 5: 

Ejemplo 6: 

b)  par

. Se aisla  el resto que tiene potencia par se pone en función de  con  para usar sec en una integral por sustitución

Ejemplo 7: 

Ejemplo 8: 

	=
	=
	=

c)  par

Se pasan las potencias pares de tangente a potencias de secante; si llegan a quedar potencias impares de secante esto se reduce al caso siguiente.

Ejemplo 9: 

d)  par

Se hace por partes

Ejemplo 10: 

Las integrales que contengan sec van a involucrar la de sec así como la de sec y así sucesivamente.

FORMULA: